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美丽的数学

π

π = 3.1415926……
1-N 之间互素对的概率:

6π2\frac{6}{\pi^2}

e

e--欧拉数,自然底数:2.718……

e=10!+11!+12!+e = \frac{1}{0!}+\frac{1}{1!}+\frac{1}{2!}+\cdots
e=(1+0.1n)10ne=(1+\frac{0.1}{n})^{10n}

n->∞

欧拉倒数:1/e=0.36787944117144

1e=10!11!+12!13!\frac{1}{e}=\frac{1}{0!}-\frac{1}{1!}+\frac{1}{2!}-\frac{1}{3!}\cdots

欧拉公式:

eiπ+1=0e^{i\pi}+1=0

最大公约数和最小公倍数

最大公约数:
a 和 b 的因数分解的公共部分相乘就是最大公约数。但因数分解不高效,所以需要用其他方法。
欧几里得方法:

// gcd(a,b)
c = a % b
if (c != 0) {
  a = b
  b = c
}
// 重复以上过程,直到求余非零。

最小公倍数:
a 和 b 的因数分解除去冗余部分(用于最大公约数)相乘就是最小公倍数。

// lcm(a,b)
lcm(a,b) = (a*b)/gcd(a,b)

海伦-秦九韶公式

根据三角形的三个边长,求三角形面积:

s=(a+b+c)/2s = (a + b + c) / 2
area=s(sa)(sb)(sc)area = \sqrt{s(s - a)(s - b)(s - c)}

婆罗摩笈多公式

圆内接四边形面积:

s=(a+b+c+d)/2s = (a + b + c + d) / 2
area=s(sa)(sb)(sc)(sd)area = \sqrt{s(s - a)(s - b)(s - c)(s - d)}

四圆相切与笛卡尔定理

三个相切的圆,并且存在另一个内切或者外切的圆。这四个圆的曲率(半径的倒数)满足方程:

k12+k22+k32+k42=(k1+k2+k3+k4)22k_1^2 + k_2^2 + k_3^2 + k_4^2 = \frac{(k_1 + k_2 + k_3 + k_4)^2}2

欧拉多面体公式

多面体的顶点数V,面数F,棱数E,恒有下面的关系式:

V+FE=2V + F - E = 2

正多面体仅有五种:四面体、立方体、八面体、十二面体和二十面体这五个柏拉图立体

混沌系统

具有确定性并完全不可预测的。
比如:

f(x)=3.9(1x)f(x)=3.9 * (1-x)

科拉茨3x+1的问题:

x 为奇数:

F(x)=3x+1F(x) = 3x+1

x 为偶数:

F(x)=x2F(x) = \frac{x}2

不管初始值 x 是多少,多次迭代后都会进入 4、2、1 模式。